Большая советская энциклопедия - наилучшее приближение

Наилучшее приближение, важное понятие теории приближения функций. Пусть f (x) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке а, b, a j1(x), j2(x),..., jn (x) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения: |f (x) — a1j1(x) - a2j2(x) -... - anjn (x)| (*) на отрезке а, b называется уклонением функции f (x) от полинома Pn (x) = a1j1(x) + a2j2(x) +... + anjn (x), а минимум уклонения для всевозможных полиномов Pn (x) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a1, a2,..., an) — наилучшим приближением функции f (x) посредством системы j1(x), j2(x),..., jn (x); Н. п. обозначают через En (f, j). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом. Полином P*n (x, f), для которого уклонение от функции f (x) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f (x) (на отрезке а, b). Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f (x), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f (x) от полинома Pn (x) понимается не максимум выражения (*), а, например, См. Приближение и интерполирование функций.